Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Sei eine beliebiger normierter Vektorraum, z.B. die Menge der reellen Zahlen. Eine Folge ist eine abzählbare, geordnete Teilmenge von . Man kann sie auch als Abbildung von nach interpretieren (es wird also jeder natürlichen Zahl ein Element aus zugeordnet). Eine Folge heißt Teilfolge von a, falls eine streng monoton wachsende Funktion existiert mit für alle .

Beispiele[Bearbeiten]

Wichtige Beispiele sind

• . Hier sind die Folgenglieder gegeben durch
• 
• 

Konvergenz und Beschränktheit[Bearbeiten]

Oft interessiert das Verhalten einer Folge wenn sehr groß wird. Es kann nämlich der Fall eintreten, dass alle Folgenglieder auf einen bestimmten Punkt zulaufen. Dieser Punkt wird dann Grenzwert genannt und man sagt, dass die Folge gegen ihn konvergiert. Das Ganze fassen wir noch einmal formal in der nächsten Definition zusammen.

Definition - Konvergenz

Eine Folge reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert genau dann, wenn gilt:

Für jedes mit existiert ein , so dass für alle

In dieser Definition hängt von ab. Je kleiner wird, um so größer muss gewählt werden. Man kann dies auch so formulieren: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder -Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

Konvergiert die Folge gegen den Grenzwert , so schreibt man

oder - wenn klar ist - kurz .

Eine Folge mit dem Grenzwert nennt man auch Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergente Folge.

Beispiele

1. Die konstante Folge konvergiert gegen .
2. Die schon bekannte Folge ist eine Nullfolge: denn für jedes existiert ein mit . Damit ist
   .
   Also ist .
3. Die Folge , , divergiert. Wäre sie konvergent, müsste es nach der Definition der Konvergenz zu ein geben, so dass für alle : .
   Hieraus folgte aber mittels der Dreiecksungleichung
   
   
   .
   Aus der angenommenen Konvergenz erhielten wir somit die zu 1 = 1 widersprechende Aussage . Damit ist die Divergenz der Folge bewiesen.

Satz (Eindeutigkeit des Grenzwertes)

Sei eine Folge, die sowohl gegen als auch gegen konvergiert. Dann gilt .

Beweis

Wir schließen indirekt und nehmen an. Sei gewählt. Dann gibt es nach der Definition der Konvergenz zwei natürliche Zahlen mit

für und für .

Für gilt dann sowohl als auch . Durch Anwendung der Dreiecksungleichung folgt jetzt

.

Die Aussage ist aber falsch. Daher muss auch unsere Annahme falsch gewesen sein. Also gilt , wie behauptet.

Definition (Beschränktheit)

Sei eine Folge reeller Zahlen. heißt nach oben (nach unten) beschränkt, wenn es ein gibt mit

() .

heißt beschränkt, wenn für

.

Eine manchmal hilfreiche Folgerung ist der folgende Satz.

Satz

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis

Sei . Dann gibt es nach Definition zu ein mit

für alle .

Es folgt

Also sind alle Folgenglieder ab durch beschränkt. Übrig bleibt also zu zeigen, dass die Menge beschränkt ist: enthält aber nur endlich viele Glieder und besitzt damit ein Maximum. Die Folge ist somit durch beschränkt.

Vorsicht! Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht. Man betrachte hierfür nur die Folge . Diese ist zwar beschränkt aber sie konvergiert nicht.

Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Definition (Cauchy-Folge)

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, falls für alle ein existiert, so dass für alle gilt.

Satz

Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist eine Cauchy-Folge.

Beweis

Sei eine konvergente Folge. Dann gibt es ein ein mit

für alle

Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung

für alle .

Teilfolgen[Bearbeiten]

Definition (Teilfolge)

Sei eine Folge reeller Zahlen und

eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt

Teilfolge von .

Man sieht schnell ein, dass bei einer konvergenten Folge ebenfalls alle Teilfolgen konvergieren. Doch wie sieht es bei divergenten Folgen aus? Der folgende Satz von Bolzano-Weierstraß lierfert ein Kriterium, wann eine Teilfolge mit Sicherheit konvergiert.

Satz (Bolzano-Weierstraß)

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis

Sei eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge sei eine Hilfsmenge wie folgt definiert:

.

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge

Wenn gezeigt werden kann, dass eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von .

		Da die Menge M beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei eine solche untere Schranke. Dann ist Da die leere Menge endlich ist, ist ein Element von H. Also ist nicht leer.
	nach oben beschränkt	Da beschränkt ist, existiert eine obere Schranke von . Sei . Dann ist eine unendliche Menge, da eine unendliche Menge ist. Es folgt . Dann ist aber aber auch eine obere Schranke von .

Die Vollständigkeit von liefert die Existenz eines Supremums .

2. Das Supremum ist ein Häufungspunkt von

Sei . Zu zeigen ist: enthält mindestens einen von verschiedenen Punkt von .

1. Es gibt ein mit , da sonst eine obere Schranke von wäre. Das kann aber nicht sein, da als kleinste obere Schranke von definiert wurde. Mit folgt aus der Definition von , dass es nur endlich viele geben kann mit , denn sonst wäre nicht endlich.
2. Andererseits folgt wegen ( ist und ), dass es unendlich viele geben muss mit .
3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele geben muss mit (denn zieht man von den unendlich vielen aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich viele übrig).

Also gibt es unendlich viele mit . Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von verschiedenen Punkt zu finden.

Metrische Räume[Bearbeiten]

Ist kein normierter sondern ein metrischer Raum, so kann man Folgen genauso definieren und die Begriffe Konvergenz, Beschränktheit etc. äquivalent einführen, indem die Ausdrücke bzw. durch bzw. ersetzt, wobei die Metrik auf ist.