Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

Analysis
Einleitung

A: Grundlagen B: Reelle Zahlen C: Folgen und Reihen D: Stetigkeit E: Differentialrechnung F: Integralrechnung G: Differentialgleichungen

Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (1) eine beliebiger normierter Vektorraum, z.B. die Menge der reellen Zahlen. Eine Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2) ist eine abzählbare, geordnete Teilmenge von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3). Man kann sie auch als Abbildung von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4) nach Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5) interpretieren (es wird also jeder natürlichen Zahl ein Element aus Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6) zugeordnet). Eine Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7) heißt Teilfolge von a, falls eine streng monoton wachsende Funktion Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8) existiert mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9) für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10).

Beispiele[Bearbeiten]

Wichtige Beispiele sind

  • Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11). Hier sind die Folgenglieder gegeben durch Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
  • Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
  • Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)

Konvergenz und Beschränktheit[Bearbeiten]

Oft interessiert das Verhalten einer Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15) wenn Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16) sehr groß wird. Es kann nämlich der Fall eintreten, dass alle Folgenglieder auf einen bestimmten Punkt Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17) zulaufen. Dieser Punkt Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18) wird dann Grenzwert genannt und man sagt, dass die Folge gegen ihn konvergiert. Das Ganze fassen wir noch einmal formal in der nächsten Definition zusammen.


Definition - Konvergenz

Eine Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19) reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20) genau dann, wenn gilt:
Für jedes Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21) mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22) existiert ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23), so dass für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)


In dieser Definition hängt Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25) von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26) ab. Je kleiner Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27) wird, um so größer muss Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28) gewählt werden. Man kann dies auch so formulieren: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29)-Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

Konvergiert die Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30) gegen den Grenzwert Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31), so schreibt man

Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32) oder - wenn Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33) klar ist - kurz Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34).

Eine Folge mit dem Grenzwert Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35) nennt man auch Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergente Folge.

Beispiele
  1. Die konstante Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36) konvergiert gegen Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37).
  2. Die schon bekannte Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38) ist eine Nullfolge: denn für jedes Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39) existiert ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40) mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41). Damit ist
    Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42).
    Also ist Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43).
  3. Die Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44), Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45), divergiert. Wäre sie konvergent, müsste es nach der Definition der Konvergenz zu Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46) ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) geben, so dass für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48): Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49).
    Hieraus folgte aber mittels der Dreiecksungleichung
    Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50)
    Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51)
    Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52).
    Aus der angenommenen Konvergenz erhielten wir somit die zu 1 = 1 widersprechende Aussage Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53). Damit ist die Divergenz der Folge bewiesen.
Satz (Eindeutigkeit des Grenzwertes)
Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54) eine Folge, die sowohl gegen Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55) als auch gegen Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) konvergiert. Dann gilt Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57).
Beweis
Wir schließen indirekt und nehmen Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58) an. Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59) gewählt. Dann gibt es nach der Definition der Konvergenz zwei natürliche Zahlen Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) mit
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61) für Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) und Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) für Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64).
Für Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65) gilt dann sowohl Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66) als auch Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67). Durch Anwendung der Dreiecksungleichung folgt jetzt
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68).
Die Aussage Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69) ist aber falsch. Daher muss auch unsere Annahme falsch gewesen sein. Also gilt Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70), wie behauptet.
Definition (Beschränktheit)
Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71) eine Folge reeller Zahlen. Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) heißt nach oben (nach unten) beschränkt, wenn es ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) gibt mit
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74) (Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75)) Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76).
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77) heißt beschränkt, wenn für Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78)
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79).


Eine manchmal hilfreiche Folgerung ist der folgende Satz.

Satz
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis
Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80). Dann gibt es nach Definition zu Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82) mit
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83) für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84).
Es folgt
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85)
Also sind alle Folgenglieder ab Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86) durch Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87) beschränkt. Übrig bleibt also zu zeigen, dass die Menge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88) beschränkt ist: Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89) enthält aber nur endlich viele Glieder und besitzt damit ein Maximum. Die Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90) ist somit durch Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) beschränkt.

Vorsicht! Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht. Man betrachte hierfür nur die Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92). Diese ist zwar beschränkt aber sie konvergiert nicht.

Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Definition (Cauchy-Folge)
Eine Folge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93) heißt Cauchy-Folge, falls für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94) ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95) existiert, so dass Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97) gilt.
Satz
Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist eine Cauchy-Folge.
Beweis
Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98) eine konvergente Folge. Dann gibt es ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99) ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100) mit
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101) für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102)
Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103) für alle Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104).

Teilfolgen[Bearbeiten]

Definition (Teilfolge)
Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105) eine Folge reeller Zahlen und
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106)
eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107)
Teilfolge von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108).


Man sieht schnell ein, dass bei einer konvergenten Folge ebenfalls alle Teilfolgen konvergieren. Doch wie sieht es bei divergenten Folgen aus? Der folgende Satz von Bolzano-Weierstraß lierfert ein Kriterium, wann eine Teilfolge mit Sicherheit konvergiert.

Satz (Bolzano-Weierstraß)
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis
Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109) eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110) sei eine Hilfsmenge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) wie folgt definiert:

Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112).

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113)
Wenn gezeigt werden kann, dass Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115).
Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116)Da die Menge M beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117) eine solche untere Schranke. Dann ist

Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118)

Da die leere Menge endlich ist, ist Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119) ein Element von H. Also ist Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) nicht leer.

Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121)
nach oben
beschränkt
Da Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122) beschränkt ist, existiert eine obere Schranke Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124).

Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125). Dann ist Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126) eine unendliche Menge, da Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) eine unendliche Menge ist.

Es folgt Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128). Dann ist aber Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) aber auch eine obere Schranke von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130).

Die Vollständigkeit von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) liefert die Existenz eines Supremums Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132).
2. Das Supremum Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133) ist ein Häufungspunkt von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134)
Sei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135). Zu zeigen ist: Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136) enthält mindestens einen von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) verschiedenen Punkt von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138).
  1. Es gibt ein Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139) mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140), da sonst Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) eine obere Schranke von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142) wäre. Das kann aber nicht sein, da Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) als kleinste obere Schranke von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144) definiert wurde. Mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145) folgt aus der Definition von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146), dass es nur endlich viele Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147) geben kann mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148), denn sonst wäre Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149) nicht endlich.
  2. Andererseits folgt wegen Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) (Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151) ist Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152) und Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153)), dass es unendlich viele Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) geben muss mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155).
  3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) geben muss mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) (denn zieht man von den unendlich vielen Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158) aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich viele Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159) übrig).
Also gibt es unendlich viele Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) mit Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161). Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162) verschiedenen Punkt zu finden.

Metrische Räume[Bearbeiten]

Ist Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163) kein normierter sondern ein metrischer Raum, so kann man Folgen genauso definieren und die Begriffe Konvergenz, Beschränktheit etc. äquivalent einführen, indem die Ausdrücke Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) bzw. Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165) durch Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) bzw. Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167) ersetzt, wobei Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168) die Metrik auf Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169) ist.

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